|
|
 |
Условие
Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений
x² + y² = A,
|x| + |y| = B
имеет m решений, а система уравнений
x² + y² + z² = C,
|x| + |y| + |z| = D
имеет n решений. Известно, что m > n > 1. Найдите m и n.
Решение
Первое уравнение есть уравнение окружности, второму удовлетворяют точки квадрата с центром в начале координат и с диагоналями, принадлежащими осям координат. Поэтому первая система в зависимости от A и B либо не имеет решений, либо имеет четыре решения, либо восемь. Итак, m может равняться либо 0, либо 4, либо 8.
Первое уравнение второй системы есть уравнение сферы. Второму удовлетворяют точки октаэдра с центром в начале координат и с вершинами, лежащими на осях координат на равных расстояниях от центра. Эта система в зависимости от C и D либо не имеет решений, либо имеет 6 решений (вершины октаэдра лежат на сфере), либо имеет 8 решений (сфера касается граней октаэдра), либо имеет бесконечное число решений (сфера пересекает грани октаэдра по окружностям или нескольким дугам окружностей). Итак, n может равняться либо 0, либо 6, либо 8. Условию m > n > 1 удовлетворяет только вариант m = 8, n = 6.
Ответ
m = 8, n = 6.
Замечания
5 баллов
