ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98446
Темы:    [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости проведено n прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все n, при которых это возможно.


Решение

Разобьём все проведённые прямые на группы параллельных между собой. Пусть таких групп k. Ясно, что в каждой группе  n – 1999  прямых. Поэтому
n = k(n – 1999),  то есть  1999k = n(k – 1).  Так как числа k и  k – 1  взаимно просты, то 1999 (а это число простое) делится на  k – 1.  Значит,  k – 1 = 1999  или  k – 1 = 1.  Соответственно  n = 2000 или 3998.


Ответ

2000 или 3998.

Замечания

1. 4 балла.

2. Ср. с задачей 98451.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1999/2000
Номер 21
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3
журнал
Название "Квант"
год
Год 2000
выпуск
Номер 1
Задача
Номер М1726

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .