|
|
 |
Условие
Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти
площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек
A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.
Решение 1
а) Будем двигать точку C' по стороне AB от точки A к точке B. При этом длина высоты треугольника A'B'C', опущенной на основание A'B', будет либо оставаться неизменной (если AB || A'B'), либо убывать (как на нашем рисунке), либо возрастать. Поэтому площадь SA'B'C' заключена между SA'B'A и SA'B'B. Но SA'B'A = ½ SA'CA ≤ ½ SABC и SA'B'B ≤ SBB'C = ½ SABC.
б) Пусть A'' и C'' – середины соответственно сторон BC и AB. Если A' совпадает с A'', то AB || A'B' и, как показано выше, SA'B'C' = SA''B'C' = ¼ SABC. Если же A' не совпадает с A'', то прямые AB и A'B' не параллельны, поэтому площадь SA'B'C' монотонно изменяется при движении точки C' по стороне AB и, следовательно, может принять значение ¼ SABC только при одном положении точки C' (а именно при C' = C'').
Решение 2
Примем площадь SABC за единицу. Пусть BC' : C'A = x : (1 – x), BA' : A'C = y : (1 – y), где 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Тогда SAB'C' = ½ (1 – x), SA'B'C = ½ (1 – y),
SA'BC' = xy, а SA'B'C' = 1 – SAB'C' – SA'B'C – SA'BC' = ½ (x + y) – xy = ¼ – (½ – x)(½ – y).
Теперь утверждение б) очевидно, а утверждение а) сводится к проверке неравенства (½ – x)(½ – y) ≥ –¼, которое следует из неравенств
|½ – x| ≤ ½, |½ – y| ≤ ½.
Замечания
баллы: 2 + 2
