Задача 98463

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Средняя линия трапеции ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Вневписанные окружности касаются сторон AC и BC треугольника ABC в точках K и L. Докажите, что прямая, соединяющая середины KL и AB,
  а) делит периметр треугольника ABC пополам;
  б) параллельна биссектрисе угла ACB.

Решение

  Достроим чертеж до симметричного (см. рис.).

  Равнобочные трапеции AA₁B₁B и KK₁L₁L обладают тем свойством, что основание AA₁ параллельно основанию KK₁ и отстоит от него на то же расстояние, что и BB₁ от LL₁. Это следует из равенства отрезков касательных AK и BL (см. задачу 55404) и углов CAA₁ и CBB₁. Следовательно, средняя линия MM₁ трапеции AA₁B₁B является также средней линией трапеции KK₁L₁L.
  а) MM₁ делит диагональ AB₁ трапеции AA₁B₁B пополам, а половина этой диагонали равна полусумме сторон AC и BC треугольника ABC.
  б) MM₁ параллельна биссектрисе угла ACB.

Замечания

баллы: 3 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1999/2000
Номер	21
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4
журнал
Название	"Квант"
год
Год	2000
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М1728