Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Существуют ли такие две функции f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
а) f(f(x)) = x, g(g(x)) = x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
б) f(f(x)) < x, g(g(x)) < x, f(g(x)) > x, g(f(x)) > x?
Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число 1, 2, 3, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?
а) Докажите, что при переходе от невыпуклого
многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается.
(Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый
многоугольник, его содержащий.)
б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый
многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не
меньше, чем периметр внутреннего.
Натуральное число n разрешается заменить на число ab, если a + b = n и числа a и b натуральные.
Можно ли с помощью таких замен получить из числа 22 число 2001?
|
|
 |
Условие
Натуральное число n разрешается заменить на число ab, если a + b = n и числа a и b натуральные.
Можно ли с помощью таких замен получить из числа 22 число 2001?
Решение
Заметим, что число n = (n – 1) + 1 можно заменить на n – 1. Поэтому достаточно получить число, большее 2001 (что нетрудно сделать), а потом отнимать от него по 1.
Ответ
Можно.
Замечания
1. Приведём два коротких пути (их легче найти обратным ходом):
22 → 21 = 10 + 11 → 110 = 87 + 23 → 2001;
22 → 21 = 14 + 7 → 98 = 69 + 29 → 2001.
2. 3 балла.
