Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Из клетчатого прямоугольника 9×9 вырезали 16 клеток, у которых номера горизонталей и вертикалей чётные. Разрежьте оставшуюся фигуру на несколько клетчатых прямоугольников так, чтобы среди них было как можно меньше квадратиков 1×1.
На столе лежит картонный круг радиуса 5 см. Петя, пока возможно, прикладывает к кругу снаружи картонные квадраты со стороной 5 см так, чтобы выполнялись условия:
1) у каждого квадрата одна вершина лежит на границе круга;
2) квадраты не пересекаются;
3) каждый следующий квадрат касается предыдущего вершиной к вершине.
Определите, сколько квадратов может выложить Петя, и докажите, что последний и первый квадрат тоже коснутся вершинами.
Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки а1, закончив в клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?
На доске размером 15×15 клеток расставили 15 ладей, не бьющих друг друга.
Затем каждую ладью передвинули ходом коня.
Докажите, что теперь какие-то две ладьи будут бить друг друга.
|
|
 |
Условие
На доске размером 15×15 клеток расставили 15 ладей, не бьющих друг друга.
Затем каждую ладью передвинули ходом коня.
Докажите, что теперь какие-то две ладьи будут бить друг друга.
Решение
Введём на доске "систему координат": занумеруем горизонтали и вертикали числами от 1 до 15. Если ладьи не бьют друг друга, то в каждой горизонтали и в каждой вертикали находится ровно одна ладья, поэтому сумма координат всех ладей равна 2(1 + 2 + ... + 15), то есть чётна. Когда ладья передвинута ходом коня, сумма её координат изменяется на 1 или на 3, то есть меняет чётность. Так как количество ладей нечётно, после перестановки сумма координат всех ладей нечётна. Следовательно, некоторые ладьи бьют друг друга.
Замечания
5 баллов
