|
|
 |
Условие
Известно, что число 2333 имеет 101 цифру и начинается с цифры 1. Сколько чисел в ряду 2, 4, 8, 16, ..., 2333 начинается с цифры 4?
Решение 1
Рассмотрим все n-значные степени двойки. Подчеркнём три из них: наименьшую – она начинается с цифры 1, следующую – начинается с цифры 2 или 3; и наибольшую – она начинается с цифры не менее 5. Неподчёркнутой могла остаться лишь степень, начинающаяся с цифры 4.
Из этого следует, что ровно 100 выписанных в условии чисел начинаются с единицы (по одному для каждого количества разрядов от 2 до 101), ровно 100 – с цифры 2 или 3, ровно 100 – с цифр больших 4 (по одному для каждого количества разрядов от 1 до 100). Значит, остаются 33 числа, начинающихся с четвёрки.
Решение 2
Как сказано в условии, 10100 ≤ 2333 < 2·10100. Разделив на 2300, получим (5/4)100 ≤ 233 < 2·(5/4)100 , или 232 < (5/4)100 ≤ 233.
То, что число 2m (0 < m < 333) начинается с 4, равносильно неравенству 4·10n ≤ 2m < 5·10n, где n может принимать значения от 0 до 99. Разделив на 23n+2, получим еще одно равносильное неравенство (5/4)n ≤ 2k < (5/4)n+1, где k = m – 3n – 2. Каждая степень двойки от 20 до 232 попадёт в один из таких промежутков (а 233, как показано выше, находится правее последнего промежутка). Итак, подобное неравенство выполняется ровно 33 раза.
Замечания
8 баллов
