По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не равными скоростями движутся точки A и B.
Докажите, что существует такая точка P, что в любой момент времени  AP : BP = k,  где k – отношение скоростей.

   Решение

На шахматном турнире для 12 участников каждый сыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За выигрыш давали 1 очко, за ничью – ½, за проигрыш – 0. Вася проиграл только одну партию, но занял последнее место, набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набрав больше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?

   Решение

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

Решение

  Пусть первое число  A₁ = a₁...a_m,  а разность прогрессии  D = d₁...d_k.
  Рассмотрим число n, гораздо большее чем m и k. Положим  i = 1 + 10ⁿ.  Тогда в i-м члене     подчёркнуто число     Но это можно сделать (так как  a₁ ≠ 0)  только в случае, когда  a₁ = 1,  а D оканчивается на  

    "Расположить" в этом числе число     можно только если  k – m = 0.  Следовательно,  D = 10^m–1.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования