Указать все денежные суммы, выраженные целым числом рублей, которые могут быть представлены как чётным, так и нечётным числом денежных билетов. (В обращении имелись билеты достоинством в 1, 3, 5, 10, 25, 50 и 100 рублей.)

   Решение

Правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных (красных) и одинаковых равнобедренных (зелёных) треугольников так, как показано на рисунке. Чему равна площадь правильного треугольника, если площадь зелёного треугольника равна 1? При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.

   Решение

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

Решение

  Пусть первое число  A₁ = a₁...a_m,  а разность прогрессии  D = d₁...d_k.
  Рассмотрим число n, гораздо большее чем m и k. Положим  i = 1 + 10ⁿ.  Тогда в i-м члене     подчёркнуто число     Но это можно сделать (так как  a₁ ≠ 0)  только в случае, когда  a₁ = 1,  а D оканчивается на  

    "Расположить" в этом числе число     можно только если  k – m = 0.  Следовательно,  D = 10^m–1.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования