ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98562
Темы:    [ Свойства параллельного переноса ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Композиции движений. Теорема Шаля ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из бумаги вырезали два одинаковых треугольника ABC и A'B'C' и положили их на стол, перевернув при этом один из треугольников.
Докажите, что середины отрезков AA', BB' и CC' лежат на одной прямой.


Решение

Заметим, что если оставить треугольник A1B1C1 на месте, а треугольник ABC сдвинуть на некоторый вектор a, то середины отрезков AA1, BB1 и CC1 сдвинутся на  ½ a.  Поэтому мы можем без потери общности точку A совместить с A1. Но в этом случае биссектрисы углов BAB1 и CAC1, очевидно, совпадают, и середины отрезков AA1, BB1 и CC1 лежат на этой общей биссектрисе.

Замечания

1. Утверждение немедленно следует из задачи 57905.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2001/2002
Номер 23
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .