ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98582
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Таблицы и турниры (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шень А.Х.

а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере ⅔ задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере ⅔ школьников. Известно также, что по крайней мере ⅔ школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере ⅔ задач контрольной. Могло ли такое быть?

б) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в её условии ⅔ на ¾?

в) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в её условии ⅔ на 7/10?


Решение

  а) Приведём пример, когда все условия выполнены. Пусть на контрольной было три задачи, треть школьников решила первую и третью, треть – вторую и третью, остальные – ничего.

  б) Нарисуем на единичном квадрате таблицу, где строки соответствуют ученикам, а столбцы – задачам; при этом школьникам, написавших контрольную хорошо, отведём верхние строки, а трудным задачам – левые столбцы. Если школьник решил задачу, то клетку на пересечении соответствующих строки и столбца сделаем чёрной.
  Оценим площадь чёрной области двумя способами. Уже в строках хороших учеников закрашено не менее  ¾·¾ = 9/16.  С другой стороны, в столбцах трудных задач закрашено не более  ¼·¾,  в остальных столбцах – всего не более ¼, итого не более 7/16. Противоречие.

  в) Нарисуем и закрасим таблицу как в б). Оценим двумя способами площадь S чёрной области, расположенной в левом верхнем углу – квадрате  0,7×0,7.  Каждая строка пересекает эту область по прямоугольникам одинаковой высоты с суммой длин не меньшей  0,7 – 0,3,  следовательно,  S ≥ 0,7·0,4 = 0,28.
  С другой стороны, каждый столбец пересекает эту область по прямоугольникам с суммой высот, не большей 0,3, следовательно,  S ≤ 0,3·0,7 = 0,21.  Противоречие.


Ответ

а) Могло.  б) – в) Изменится.

Замечания

  1. Можно обойтись и без таблицы. В б) это совсем просто. Пусть было n школьников и z задач. Общее число решений трудных задач во всех работах, с одной стороны, не меньше  3n/4·3z/4 = 9nz/16,  а с другой – не больше 7nz/16.
  В пункте в) возникают небольшие технические осложнения.
  Пусть число трудных задач равно tz. Каждую трудную задачу решило не более 0,3n школьников, поэтому общее число сданных решений трудных задач не больше 0,3ntz. С другой стороны, хороших школьников не меньше 0,7n. Каждый сдал не менее 0,7z решений, из них не более  (1 – t)z  лёгких, значит, не менее  0,7z – (1 – t)z = (t – 0,3)z  трудных задач. В итоге сдано не менее  0,7(t – 0,3)nz  решений трудных задач. Из неравенства  0,3tnz ≥ 0,7(t – 0,3)nz  получаем  t ≤ 0,525,  что противоречит условию.

  2. Пусть в условии вместо ⅔ стоит число  p < 1.  Подсчитывая двумя способами площадь, как в решении в), получим неравенство  p(2p – 1) ≤ p(1 – p),  откуда  p ≤ ⅔.  Из а) видно, что эта оценка точна. А вот подсчет общей площади чёрных клеток (как в решении п. б)) даст всего лишь неравенство     – эта оценка не точна.

  3. Баллы: 1 + 2 + 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2002/2003
Номер 24
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .