Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Саша и Маша загадали по натуральному числу и сообщили их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом – их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нём оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?
Пусть x, y, z – любые числа из интервала (0, π/2). Докажите неравенство
Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12.
Найдите объёмы белых параллелепипедов.
Петя взял произвольное натуральное число, умножил его на 5, результат снова умножил на 5, потом ещё на 5, и так далее.
Верно ли, что с какого-то момента все получающиеся у Пети числа будут содержать 5 в своей десятичной записи?
На столе лежат 2002 карточки с числами 1, 2, 3,... , 2002. Двое играющих берут по одной карточке по очереди. После того, как будут взяты все карточки, выигравшим считается тот, у кого больше последняя цифра суммы чисел на взятых карточках. Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник, и как он должен при этом играть?
|
|
 |
Условие
На столе лежат 2002 карточки с числами 1, 2, 3,... , 2002. Двое играющих берут по одной карточке по очереди. После того, как будут взяты все карточки, выигравшим считается тот, у кого больше последняя цифра суммы чисел на взятых карточках. Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник, и как он должен при этом играть?
Решение
Ясно, что на результат влияют только последние цифры написанных на карточках чисел. Поэтому можно считать, что имеется по 200 карточек с цифрами 3, ..., 9, 0 и по 201 карточке с цифрами 1 и 2. Первый может сначала взять карточку с цифрой 2, а затем повторять ходы второго, пока это возможно. В момент, когда он не сможет повторить ход второго (после того, как второй возьмёт последнюю карточку с цифрой 1), первый берёт любую из оставшихся карточек, а далее снова повторяет ходы второго. И т. д. В результате в конце у обоих карточек каждого типа будет поровну, кроме карточек с цифрами 1 и 2: у первого будет на одну карточку с двойкой больше и на одну карточку с единицей меньше.
Поскольку сумма 100·(0 + 1 + … + 9) оканчивается нулём, сумма первого оканчивается двойкой, а второго – единицей.
Ответ
Первый.
Замечания
5 баллов
