|
|
 |
Условие
Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12.
Найдите объёмы белых параллелепипедов.
Решение
Обозначим точку пересечения трёх плоскостей, разрезающих куб, через $A$. Заметим, что объём любого из восьми полученных параллелепипедов равен произведению трёх его рёбер, выходящих из $A$. Пусть мы хотим найти объём какого-то белого параллелепипеда α. Перемножив объёмы трёх чёрных параллелепипедов, примыкающих к α, получим произведение длин девяти отрезков: рёбра параллелепипеда α, выходящие из $A$, будут входить в произведение по два раза, а рёбра противоположного к α чёрного параллелепипеда β, выходящие из $A$, – по одному разу. Поделив полученное число на объём β, получим квадрат объёма α.
Таким образом, перемножая тройки чисел из условия и деля на четвёртое, мы получим квадраты объёмов белых параллелепипедов; останется извлечь корни.
Ответ
2, 3, 4, 24.
Замечания
4 балла
