ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 67043  (#1)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Натуральное число k назовём интересным, если произведение первых k простых чисел делится на k (например, произведение первых двух простых чисел — это 2·3=6, и 2 — число интересное). Какое наибольшее количество интересных чисел может идти подряд?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67039  (#2)

Темы:   [ Объем параллелепипеда ]
[ Вычисление объемов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12. Найдите объёмы белых параллелепипедов.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67045  (#3)

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В белом клетчатом квадрате 2021×2021 требуется закрасить чёрным две клетки. После этого через каждую минуту одновременно закрашиваются чёрным все клетки, которые граничат по стороне хоть с одной из уже закрашенных. Ваня выбрал две начальные клетки так, чтобы весь квадрат закрасился как можно быстрее. Через сколько минут закрасился квадрат?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67046  (#4)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Матвеев А.

Дан отрезок AB. Точки X, Y, Z в пространстве выбираются так, чтобы ABX был правильным треугольником, а ABYZ — квадратом. Докажите, что ортоцентры всех получающихся таким образом треугольников XYZ попадают на некоторую фиксированную окружность.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67047  (#5)

Тема:   [ Инварианты и полуинварианты (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Лукин М.

Дан отрезок [0; 1]. За ход разрешается разбить любой из имеющихся отрезков точкой на два новых отрезка и записать на доску произведение длин этих двух новых отрезков. Докажите, что ни в какой момент сумма чисел на доске не превысит 1/2.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .