Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача
67043
(#1)
|
|
Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11
|
Натуральное число $k$ назовём
интересным, если произведение первых $k$ простых чисел делится на $k$ (например, произведение первых двух простых чисел — это 2·3=6, и 2 — число интересное). Какое наибольшее количество интересных чисел может идти подряд?
Задача
67039
(#2)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили
его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы
чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12. Найдите объёмы белых
параллелепипедов.
Задача
67045
(#3)
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
В белом клетчатом квадрате 2021×2021 требуется закрасить чёрным две
клетки. После этого через каждую минуту одновременно закрашиваются чёрным все клетки,
которые граничат по стороне хоть с одной из уже закрашенных. Ваня выбрал две начальные
клетки так, чтобы весь квадрат закрасился как можно быстрее. Через сколько минут закрасился квадрат?
Задача
67046
(#4)
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Дан отрезок AB. Точки X, Y, Z в пространстве выбираются так, чтобы ABX
был правильным треугольником, а ABYZ — квадратом. Докажите, что ортоцентры всех получающихся таким образом треугольников XYZ попадают на некоторую фиксированную окружность.
Задача
67047
(#5)
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Дан отрезок [0; 1]. За ход разрешается разбить любой из имеющихся отрезков
точкой на два новых отрезка и записать на доску произведение длин этих двух новых отрезков.
Докажите, что ни в какой момент сумма чисел на доске не превысит 1/2.
Страница: 1 [Всего задач: 5]