|
|
 |
Условие
Дан некоторый угол и точка A внутри него. Можно ли провести через точку A три прямые (не проходящие через вершину угла) так, чтобы на каждой из сторон угла одна из точек пересечения этих прямых со стороной лежала посередине между двумя другими точками пересечения прямых с этой же стороной?
Решение
Пусть это удалось: три прямые, проходящие через точку A, пересекают одну сторону угла в точках B, C, D (C – середина отрезка BD), а другую – в точках B', C', D' (C' – середина B'D'). Пусть прямая, проходящая через B' параллельно BD, пересекает прямые CC' и DD' в точках C'' и D'' соответственно. При гомотетии с центром A, переводящей B в B', точка C перейдёт в C'', а D – в D''. Значит, C'' – середина отрезка B'D'' , т.е. C'C'' – средняя линия треугольника D'B'D''. Поэтому C'C'' || D'D''. Но прямые C'C'' и D'D'' пересекаются в точке A. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
Замечания
5 баллов
