|
|
 |
Условие
Можно ли замостить доску 2003×2003 доминошками 1×2, которые разрешается располагать только горизонтально, и прямоугольниками 1×3, которые разрешается располагать только вертикально? (Две стороны доски условно считаются горизонтальными, а две другие – вертикальными.)
Решение 1
Запишем во все клетки нечётных столбцов цифру 1, а во все клетки чётных столбцов – цифру 2. Сумма цифр в каждом прямоугольнике 1×2 или 3×1 кратна 3. Но сумма цифр на всей доске не кратна 3. Поэтому разбить её на такие прямоугольники нельзя.
Решение 2
Пусть замощение возможно. Поскольку доска содержит нечётное число клеток, в нём участвует нечётное число прямоугольников 3×1. Окрасим в чёрный цвет 1-ю, 4-ю, 7-ю, ..., 2002-ю горизонтали доски (через две) – всего 668 горизонталей. Количество чёрных клеток чётно. Но каждый прямоугольник 1×2 содержит чётное число чёрных клеток (0 или 2), а каждый прямоугольник 3×1 – ровно одну чёрную клетку, то есть общее число чёрных клеток нечётно. Противоречие.
Ответ
Нельзя.
Замечания
1. Аналогично можно придти к противоречию, закрасив вертикали через одну.
2. Уменьшив все горизонтальные размеры вдвое, а вертикальные – втрое, мы придём к частному случаю задачи 58262.
3. 5 баллов.
