|
|
 |
Условие
Трапеция с основаниями AD и BC описана вокруг окружности, E – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол AED не может быть острым.
Решение
В описанной трапеции сумма боковых сторон равна сумме оснований, поэтому полусумма боковых сторон равна средней линии. Построим окружности на боковых сторонах трапеции как на диаметрах. Расстояние между их центрами (длина средней линии трапеции) равно сумме радиусов, поэтому окружности касаются внешним образом.
Из точки внутри любой из этих окружностей одна из боковых сторон видна под тупым углом, а другая – под острым. Однако из точки E обе боковые стороны видны под равными углами. Поэтому E не лежит внутри ни одной из этих окружностей. Отсюда угол AEB не тупой и смежный угол AED не острый.
Замечания
1. Построенные окружности касаются в центре вписанной в трапецию окружности, но для наших рассуждений это неважно.
2. На Московской регате требовалось доказать, что угол AED тупой. Действительно, из тех же соображений нетрудно видеть, что прямым этот угол может быть только для ромба (а ромб – не трапеция).
3. Турнир городов – 7 баллов, Регата – 9 баллов.
