Версия для печати
Убрать все задачи
Имеются
чашечные весы, любые гири и десять мешков с монетами. Все монеты во всех
мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты
фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках все монеты
настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощи
одного
взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?
Решение
X и
Y — два выпуклых многоугольника, причём многоугольник
X содержится
внутри
Y. Пусть
S(
X) и
S(
Y) — площади этих многоугольников, а
P(
X) и
P(
Y) — их периметры. Доказать, что
< 2
. .
Решение
Бесконечные возрастающие арифметические прогрессии $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ состоят из положительных чисел. Известно, что отношение $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ целое при любом $k$. Верно ли, что это отношение не зависит от $k$?
Решение
Расставить в таблице 4×4 16 чисел так, чтобы сумма чисел по любой
вертикали, горизонтали и диагонали равнялась нулю. (Таблица имеет 14 диагоналей, включая все малые, состоящие из трёх, двух и одной клеток. Хотя бы одно из чисел должно быть отлично от нуля.)
Решение
Основанием треугольной пирамиды
ABCD является треугольник
ABC ,
в котором
A = ,
C = ,
BC = 2
. Рёбра
AD ,
BD ,
CD равны между собой. Сфера
радиуса 1 касается рёбер
AD ,
BD , продолжения ребра
CD за точку
D и плоскости
ABC . Найдите отрезок касательной, проведённой
из точки
A к сфере.
Решение