Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 133]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил:
вначале режем сыр на два куска, затем один из них режем на два куска, затем один из трёх кусков опять режем на два куска, и т.д.;
после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса каждой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R$.
а) Докажите, что при $R$ = 0,5 можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
б) Докажите, что если $R$ > 0,5, то процесс резки когда-нибудь остановится.
в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если $R$ = 0,6?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В каждом из $16$ отделений коробки $4\times 4$ лежит по золотой монете. Коллекционер помнит, что какие-то две лежащие рядом монеты (соседние по стороне) весят по $9$ грамм, а остальные по $10$ грамм. За какое наименьшее число взвешиваний на весах, показывающих общий вес в граммах, можно определить эти две монеты?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В стране рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут) за круглым столом сидят в вершинах правильного десятиугольника 10 человек, среди которых есть лжецы. Путешественник может встать куда-то и спросить сидящих: "Каково расстояние от меня до ближайшего лжеца из вас?" После этого каждый отвечает ему. Какое минимальное количество вопросов должен задать путешественник так, чтобы гарантированно узнать, кто за столом лжецы? (Посторонних рядом нет, на стол вставать нельзя. Людей считайте точками. Все, включая путешественника, могут точно измерить любое расстояние.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10,11
|
Казино предлагает игру по таким правилам. Игрок ставит любое целое
число долларов (но не больше, чем у него в этот момент есть) либо на орла, либо на
решку. Затем подбрасывается монета. Если игрок угадал, как она упадёт, он получает
назад свою ставку и столько же денег впридачу. Если не угадал — его ставку забирает
казино. Если игроку не повезёт четыре раза подряд, казино присуждает ему в следующей
игре утешительную победу вне зависимости от того, как упадёт монета. Джо пришёл в
казино со 100 долларами. Он обязался сделать ровно пять ставок и ни разу не ставить
больше 17 долларов. Какую наибольшую сумму денег он сможет гарантированно унести
из казино после такой игры?
Разбойники Хапок и Глазок делят кучу из 100 монет. Хапок захватывает из
кучи пригоршню монет, а Глазок, глядя на пригоршню, решает, кому из двоих она
достается. Так продолжается, пока кто-то из них не получит девять пригоршней, после чего другой забирает все оставшиеся монеты (дележ может закончиться и тем, что монеты будут разделены прежде, чем кто-то получит девять пригоршней). Хапок может захватить в пригоршню сколько угодно монет. Какое наибольшее число монет он может гарантировать себе независимо от действий Глазка?
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 7 >> [Всего задач: 133]
Фильтр
