Фильтр
Задачи
Задача 86482[Караван верблюдов] |
|
По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник, если скорость его была постоянной?
Решение
Примем скорость каравана за единицу, а скорость всадника обозначим v. Тогда время, затраченное на проезд от конца каравана к началу, равно
а время, затраченное на проезд от начала к концу, равно
По условию
Это уравнение преобразуется к виду
v² – 2v – 1 = 0. Отсюда то есть за то время, что караван проходит 1 км, всадник проедет указанное в ответе расстояние.
Ответ
км.
|
|
Задача 98447 |
|
|
В Италии выпускают часы, в которых часовая стрелка делает в сутки один оборот, а минутная – 24 оборота, причём, как обычно, минутная стрелка длиннее часовой (в обычных часах часовая стрелка делает в сутки два оборота, а минутная – 24). Рассмотрим все положения двух стрелок и нулевого деления итальянских часов, которые встречаются и на обычных часах. Сколько таких положений существует на итальянских часах в течение суток? (Нулевое деление отмечает 24 часа в итальянских часах и 12 часов в обычных часах.)
Решение
Пусть некоторое положение стрелки обычных часов до полудня принимают в момент времени t (считая от начала суток; 0 ≤ t < 12: мы измеряем время в часах). Так как часовая стрелка итальянских часов движется в два раза медленнее часовой стрелки обычных, то она совместится с рассматриваемым положением часовой стрелки обычных в момент 2t. Минутные же стрелки (обычных и итальянских часов) занимают одно и то же положение, если разница времён составляет целое число часов. Таким образом, условие “совпадения положений” состоит в том, что число 2t – t = t – целое. В указанном интервале лежат ровно 12 целых значений – от 0 до 11 (что соответствует моментам 0, 1, ..., 11 часов ровно на обычных часах).
Ответ
12 положений.
|
|
|
Задача 98513 |
|
|
Автобус, едущий по маршруту длиной 100 км, снабжен компьютером, показывающим прогноз времени, остающегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автобуса на оставшемся участке маршрута будет такой же, как и на уже пройденной его части. Спустя 40 минут после начала движения ожидаемое время до прибытия составляло 1 час и оставалось таким же ещё в течение пяти часов. Могло ли такое быть? Если да, то сколько километров проехал автобус к окончанию этих пяти часов?
Решение
Пусть за t часов после начала движения автобус проехал s км (⅔ ≤ t ≤ 5⅔). Тогда его средняя скорость на пройденной части маршрута равна s/t. По условию, двигаясь с такой скоростью, автобус за час пройдёт 100 – s км, то есть s/t = 100 – s. Отсюда получаем, что автобус должен двигаться по закону s = 100t/1+t. Легко проверить, что функция s = 100t/1+t строго возрастает. Поэтому движение по такому закону возможно. При t = 5⅔ получаем
s = 85.
Ответ
Могло; 85 км.
|
|
|
Задача 102866[Убегающий ученик] |
|
|
В центре круглого бассейна плавает ученик. Внезапно к бассейну подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?
Решение
Пусть R – радиус бассейна. Ученик может плыть по окружности радиуса r, где (1 − π/4)R < r < R/4, тогда его угловая скорость больше угловой скорости учителя, и через некоторое время ученик и учитель будут в противоположных концах диаметров. Тогда мальчику останется проплыть меньше πR/4 до ближайшей точки большой окружности, а учителю надо пробежать расстояние πR. Следовательно, мальчик доплывёт до края бассейна раньше и успеет убежать.
|
|
|
Задача 103754 |
|
|
Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бросил её на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят относительно эскалатора постоянны и не зависят от направления движения?
Подсказка
Два встречных эскалатора можно представить себе, как движущееся с постоянной скоростью кольцо, относительно которого шапка неподвижна. Посмотрите на происходящее с точки зрения шапки.
Решение
Два встречных эскалатора фактически образуют движущееся с постоянной скоростью кольцо (на котором можно кататься, как на карусели), относительно которого шапка неподвижна. Встанем около шапки и понаблюдаем за бегом ребят. При этом можно считать, что эскалаторы стоят, а ребята бегут к нам из диаметрально противоположной точки кольца с равными скоростями, но каждый со своей стороны. Теперь очевидно, что они прибегут к шапке одновременно.
Однако эти рассуждения верны при одном условии: Петя должен добежать до верха эскалатора, прежде чем туда приедет шапка (она сама не сможет пересесть на Петин эскалатор и поехать ему навстречу).
Ответ
Если скорости ребят как минимум вдвое больше скорости эскалатора, то они добегут до шапки одновременно. Иначе первым добежит Витя.
|
|
|
Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 153]
