|
|
 |
Условие
Грани правильного октаэдра раскрашены в белый и черный цвет. При
этом любые две грани, имеющие общее ребро, покрашены в разные цвета.
Докажите, что для любой точки внутри октаэдра сумма расстояний до плоскостей
белых граней равна сумме расстояний до плоскостей черных граней.
Решение
Плоскости, которым принадлежат грани каждого цвета, в пересечении образуют равные правильные тетраэдры. Чтобы доказать это, Рассмотрим куб
ABCDEFGH (см. рис.) и два тетраэдра:
ACFH и BDEG.
Пересечение этих тетраэдров есть октаэдр. Действительно, вершины пересечения
есть середины граней куба, а середины граней куба являются вершинами
октаэдра.
Черные грани октаэдра лежат на одном тетраэдре, а белые – на другом.
Далее утверждение задачи следует из того, что сумма расстояний от внутренней точки
правильного тетраэдра до его граней постоянна и равна утроенному объему
тетраэдра, деленному на площадь грани.
Докажем последнее утверждение. Пусть A, B, C и D – вершины
тетраэдра, O – точка внутри тетраэдра, hA, hB, hC и hD –
расстояния от точки O до плоскостей BCD, ACD, ABD и ABC
соответственно. Пусть S
– площадь грани тетраэдра ABCD. Тогда объемы тетраэдров BCDO, ACDO, ABDO и ABCO равны (1/3)ShA, (1/3)ShB, (1/3)ShC и
(1/3)ShD соответственно. Поэтому объем тетраэдра ABCD равен
(S/3)(hA+hB+hC+hD),
откуда следует требуемое утверждение.
Источники и прецеденты использования
