ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107630
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Ориентированные графы ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По кругу записаны семь натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое.
Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с таким же свойством.


Решение

Соединим пары соседних чисел так, чтобы стрелка шла от кратного (так называется число, которое делится на делитель) к делителю (если соседние числа равны, то направление стрелки выбираем произвольно). Общее количество стрелок нечётно (7), поэтому их направления не могут чередоваться. Следовательно, какие-то две соседние стрелки направлены в одну сторону:  xyz.  Это означает, что x делится на y, а y делится на z. Отсюда следует, что x делится на z.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Название конкурс по математике
Год 1997
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .