Задача 107779

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ ГМТ и вписанный угол ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с BA соответственно. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

Решение

  Выберем произвольную точку A' на BC и проведем отрезок AA' (см. рис.). Докажем, что среди отрезков с началом в точке C и концом на стороне AB имеются только два, равных отрезку AA' – это такие отрезки CC₁ и CC₂, что  ∠C₁CA = ∠A'AC,  ∠C₂CB = ∠A'AC.

  Действительно, если рассмотреть симметрию треугольника относительно высоты, выходящей из точки B, то видно, что  CC₁ = AA'.  Симметрия относительно высоты, выходящей из точки C, показывает, что  CC₂ = CC₁.
  То, что нет других таких точек C', что CC' = AA', следует из того, что из точки на прямую можно провести не более двух наклонных данной длины.
  Итак, осталось рассмотреть точку пересечения AA' и CC₁ и точку пересечения AA' и CC₂.
  Точка P₁, в которой пересекаются отрезки AA' и CC₁, лежит на высоте треугольника ABC, выходящей из вершины B. Это утверждение можно доказать так: треугольник AP₁C равнобедренный, так как углы при основании равны. Значит, серединный перпендикуляр к отрезку AC является высотой этого треугольника, и, значит, он проходит через точку P₁. Но этот серединный перпендикуляр является и высотой треугольника ABC. Значит, точка P₁ лежит на высоте треугольника ABC. В силу симметрии все точки на этой высоте удовлетворяют условию задачи.
  Пусть P₂ – точка пересечения AA' и CC₂. Имеем:  ∠AP₂C = 180° – ∠A'AC – ∠C₂CA = 180° – ∠A'AC – (60° – ∠A'AC) = 120°,  то есть отрезок AC виден из точки P₂ под углом 120°. Геометрическое место точек внутри треугольника ABC, из которых отрезок AC виден под углом 120°, – это дуга окружности с концами в точках A и C Нетрудно видеть, что эта дуга проходит через центр треугольника ABC.
  Проводя предыдущие рассуждения в обратном порядке, видим, что все точки этой дуги удовлетворяют условию.