ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108023
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан равносторонний треугольник ABC. Из его внутренней точки M опущены перпендикуляры MA', MB', MC' на стороны.
Найдите геометрическое место точек M, для которых треугольник A'B'C' – прямоугольный.


Решение

   Пусть точки A', B' и C' лежат на сторонах BC, AC и AB соответственно. Предположим, что  ∠A'C'B' = 90°.
   Четырехугольник CA'MB' вписанный, значит,  ∠B'A'M = ∠B'CM.  Аналогично  ∠C'A'M = ∠C'BM.  Поэтому

B'A'C' = 90°   ⇔   ∠B'CM + ∠C'BM = 90°   ⇔   ∠MCB + ∠C'BM = 60° + 60° – 90° = 30°   ⇔   ∠BMC = 150°.
   Итак, множество точек M, для которых ∠A'C'B' = 90°, – дуга окружности, проходящей через точки A и B, вмещающая угол в 150°. А полным ответом будет объединение трёх таких дуг.


Ответ

Объединение 3 дуг, с каждой из которых одна из сторон видна под углом 150° (см. рис.).

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4302
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1986/1987
Номер 8
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .