Задача 108123

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.

Решение

  Пусть указанная касательная пересекает стороны AB и BC в точках D и E соответственно, а прямую AC – в точке P. Точка касания M вписанной окружности со стороной AC – середина AC.

  Обозначим  ∠C = ∠CAB = α.  Треугольник MPF – равнобедренный, поэтому  ∠PEC = ∠PFM =∠PMF = ∠ACB = α.
  Пусть вписанная окружность треугольника ABC (она же вписанная окружность равнобедренного треугольника CPE) касается сторон BC и AB в точках K и L соответственно. Тогда  FE = EK = KC = CM = AM = AL,  поэтому  AD = AL + LD = EF + DF = DE.
  Значит, треугольники DAC и DEC равны по трём сторонам. Следовательно, CD – биссектриса угла C, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6473
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	10
задача
Номер	03.4.10.2
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2003
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	03.4.9.3