Задача 108132

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

Дана окружность и точка A внутри неё.
Найдите геометрическое место вершин C всевозможных прямоугольников ABCD, где точки B и D лежат на окружности.

Решение

  Пусть O центр данной окружности, R – её радиус. Обозначим,  OA = a.  Поскольку  OB = OD = R  и  OA² + OC² = OB² + OD²  (см. задачу 54405),  то
OC² = OB² + OD² – OA² = 2R² – a².
  Значит, точка C лежит на окружности (обозначим её Ω) с центром O и радиусом   .

  Обратно, пусть C' – произвольная точка окружности Ω. На отрезке AC' как на диаметре построим окружность. Она пересекает данную окружность в двух точках. Пусть B – любая из них. Рассмотрим прямоугольник ABCD, о котором говорится в условии задачи, лежащий по ту же сторону от AB, что и точка C'. По ранее доказанному точка C лежит на окружности Ω, а так как  CB ⊥ AB  и  C'B ⊥ AB,  то точки C и C' совпадают.

Ответ

Окружность с центром О и радиусом    (R – радиус, О – центр данной окружности,  a = OA).

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6482
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1999/2000
Номер	21
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	63
Год	2000
вариант
Класс	9
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	3
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	23
Год	1960
вариант
	1
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4