Задача 108183

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Теорема синусов ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Стороны AB, BC, CD и DA описанного четырёхугольника ABCD касаются его вписанной окружности в точках K, L, M и N соответственно. Прямая, проведённая через точку C параллельно диагонали BD, пересекает прямые NL и KM в точках P и Q соответственно. Докажите, что  CP = CQ.

Решение

  Как известно (см. задачу 57022) прямые BD, KM и LN пересекаются в одной точке; обозначим её X.
  Поскольку прямые BD и PQ параллельны (см. рис.), то треугольник LCP подобен треугольнику LBX, а треугольник MCQ – треугольнику MDX. Поэтому  PC = LC·^BX/_BL,  CQ = MC·^DX/_DM.

  Заметим, что  ∠BLX = 180° – ∠DNX.  Применив теорему синусов к треугольникам BLX и DNX, получим  BX : BL = DX : DN = DX : DM.  Кроме того,
LC = MC  как отрезки касательных, проведённых из одной точки. Следовательно,  CQ = CP.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6530