Задача 108516

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол B прямой, точка M лежит на стороне AC, причём  AM : MC = 1 : 3, ∠ABM = ^π/₆,  BM = 6.
Найдите угол BAC и расстояние между центрами описанных окружностей треугольников BCM и BAM.

Подсказка

Центры указанных окружностей лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BM. Радиусы окружностей найдите с помощью теоремы синусов.

Решение

  Пусть D – проекция точки M на катет AB. Из прямоугольного треугольника BDM находим, что  DM = ½ BM = 3,  BD = 3.
  Поскольку  AD : DB = AM : MC = 1 : 3,  то  AD = 1.  Значит,  AM = ,  MC = 3.
  Из прямоугольного треугольника ADM находим, что   tg∠BAC = ^DM/_AD = 3.
  Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов R₁ и R₂, описанных вокруг треугольников BCM и BAM соответственно. Тогда O₁O₂ – серединный перпендикуляр к общей стороне BM этих треугольников, причём точки O₁ и O₂ лежат по разные стороны от прямой BM.
  По теореме синусов       Если N – точка пересечения BM и O₁O₂, то    

Ответ

arctg 3,  10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4100