ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108596
Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.
Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.


Решение

  Пусть A, B и C – последовательные вершины четырёхугольника ABCD, внутренние углы при которых равны 45°. Докажем, что отрезки BD и AC равны и перпендикулярны.

  Первый способ. Обозначим через P точку пересечения прямых AD и BC. Треугольник ABP – прямоугольный и равнобедренный, так как его углы при вершинах A и B равны по 45°. Треугольник DPC – также равнобедренный и прямоугольный. Значит, прямоугольные треугольники APC и BPD равны по двум катетам. Один из них получается из другого поворотом на угол 90° относительно точки P. Следовательно, отрезки BD и AC равны и перпендикулярны.

  Второй способ. AD и СD – высоты треугольника ABC, значит, и BD – высота, то есть  BDAC.
  D – ортоцентр треугольника ABC, поэтому описанные окружности треугольников ABC и ABD равны (см. задачу 55597). Следовательно, равны и их хорды BD и AC, стягивающие дуги в 90°.

  Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, противоположные стороны которого соответственно параллельны диагоналям четырёхугольника и равны их половинам. Диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны. Следовательно, четырёхугольник с вершинами в серединах его сторон – квадрат.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4272
журнал
Название "Квант"
год
Год 1994
выпуск
Номер 2
Задача
Номер М1425
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 15
Дата 1993/1994
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .