ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109360
Темы:    [ Свойства разверток ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Может ли квадрат являться развёрткой некоторой треугольной пирамиды?


Решение

  Рассмотрим квадрат AD1D2D3, в котором точки В и С – середины сторон D1D2 и D2D3 соответственно (см. рис.). При его сгибании по прямым АВ, ВС и АС точки D1, D2 и D3 совместятся в одной точке D, образуя пирамиду ABCD.

  Осталось показать, что пирамида будет "невырожденной", то есть точки А, В, С и D не окажутся в одной плоскости. Ввиду симметрии достаточно проверить, что  ∠ВАD2 < ∠ВАD1.

  Первый способ. В треугольнике AD1D2  АВ – медиана, AD1 – высота, биссектриса, проведённая из вершины А, лежит между ними, поэтому ∠ВАD1 > ∠ВАD2.

  Второй способ. Пусть O – центр квадрата. Поскольку, очевидно,  AO > BO,  то  ∠ВАD1 = ∠АBO > ∠BAO = ∠ВАD2.

Замечания

1. Вместо неравенства  ∠ВАD2 < ∠ВАD1  можно проверить неравенство  АD1 + KD2 > АK.

2. Других квадратных развёрток тетраэдра не существует, но доказать это довольно сложно.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8419
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 11
задача
Номер 11.2.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .