ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109669
Темы:    [ Выпуклые многоугольники ]
[ Наименьший или наибольший угол ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
[ Теорема косинусов ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.

Решение

Обозначим через F1 и F2 данные многоугольники. Предположим, что они имеют общую внутреннюю точку. Возможны два случая. 1)Один многоугольник содержится внутри другого, скажем, F1 лежит внутри F2 . Пусть A – одна из вершин F1 . Тогда, как легко видеть, найдутся три вершины P , Q , R многоугольника F2 такие, что треугольник PQR содержит A (случай, когда A лежит на стороне треугольника PQR , легко приводит к противоречию). При этом хотя бы один из углов PAQ , QAR , RAP больше 90o . Пусть, для определенности, PAQo . Тогда имеем: 1 PQ2 AP2+AQ2 . Получаем, что, вопреки условию, один из отрезков AP и AQ не больше – противоречие. 2)Сторона одного многоугольника пересекает сторону другого. Пусть, например, сторона AB многоугольника F1 пересекает сторону PQ многоугольника F2 . Пусть APBQ – выпуклый четырехугольник (случай, когда среди точек A , B , P , Q найдутся три, лежащие на одной прямой, легко рассматривается). Хотя бы один из его углов, скажем, PAQ , не меньше 90o . Тогда 1 PQ2 AP2+AQ2 , следовательно, один из отрезков AP и AQ не больше . Получаем противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1998
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 98.5.10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .