ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 109808
Темы:    [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

Решение

Назовем целочисленную точку узлом.
Если на каждой вертикальной прямой все узлы одного цвета, то выберем любой узел (пусть он цвета 1). Проведем через него две перпендикулярные прямые, идущие под углом 45o к вертикали и выберем на этих прямых точки цветов 2 и 3 (это возможно, поскольку существуют вертикали этих цветов). Полученный треугольник будет искомым.
Аналогично, если все горизонтали одного цвета.

Пусть есть вертикаль v , на которой присутствуют ровно два цвета (скажем, 1 и 2). Тогда выберем любой узел C цвета 3, узел A на v , находящийся с C на одной горизонтали (пусть узел A цвета 1) и узел B цвета 2 на v.

Если же есть вертикаль v , на которой встречаются все три цвета, то выберем горизонталь h , на которой не все точки одного цвета. Пусть точка A их пересечения имеет цвет 1, тогда выберем на h точку B цвета, отличного от 1 (скажем, цвета 2), а на v точку C третьего цвета.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 04.5.9.1
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 04.5.11.1
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 04.5.10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .