Задача 109848

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Берлов С.Л.

На дугах AB и BC окружности, описанной около треугольника ABC, выбраны соответственно точки K и L так, что прямые KL и AC параллельны.
Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABK и CBL равноудалены от середины дуги ABC.

Решение

  Если  AB = BC,  то утверждение очевидно.
  Пусть для определенности  AB < BC  (см. рис.).

  Обозначим через I₁, I₂ центры вписанных окружностей треугольников AKB и CLB соответственно, через P, Q– вторые точки пересечения прямых BI₁, BI₂ с описанной окружностью треугольника ABC, а через R– середину дуги ABC этой окружности. Тогда  PA = QC  как хорды, стягивающие половины равных дуг.
  Так как  ∠PAI₁ = ∠PAK + ∠KAI₁ = ∠PBK + ∠BAI₁ = ∠ABI₁ + ∠BAI₁ = ∠AI₁P,  то треугольник AI₁P равнобедренный, и  PA = PI₁.  Аналогично  QC = QI₂,  следовательно, PI₁ = QI₂.
  Далее,  PR = QR  как хорды, стягивающие равные дуги, а  ∠I₂QR = ∠I₁PR как углы, опирающиеся на одну дугу. Значит, треугольники RI₁P и RI₂Q равны по двум сторонам и углу между ними, и  RP = RQ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	06.5.10.6