|
|
 |
Условие
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Уравнение f(f(x)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, сумма двух из которых равна –1. Докажите, что b ≤ – ¼.
Решение
Обозначим через c1 и c2 корни уравнения f(x) = 0, а через x1 и x2 – корни уравнения f(f(x)) = 0, сумма которых равна –1. Множество корней последнего уравнения совпадает с объединением множеств корней уравнений f(x) = c1 и f(x) = c2. Рассмотрим два случая.
1) x1 и x2 являются корнями одного из последних двух уравнений. Тогда их сумма равна – a, откуда a = 1. Можно считать, что c1 ≥ c2. Поскольку
c1 + c2 = –1, то c2 ≤ – ½. Из условия следует, что дискриминант уравнения f(x) = c2 положителен, то есть 1 – 4b + 4c2 > 0. Отсюда 4b < 1 + 4c2 ≤ –1.
2) x1 – корень уравнения f(x) = c1, а x2 – корень уравнения f(x) = c2. Тогда
Поскольку c1 + c2 = – a, а x1 + x2 = –1, то Но тогда
