ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 110125
УсловиеНайдите все углы α , для которых набор чисел sinα , sin2α , sin3α совпадает с набором cosα , cos2α , cos3α .Решениеα=+ .Первое решение. Из совпадения наборов следует, что
Второе решение. Сложим 3 единичных вектора, образующих с осью Ox углы α , 2α , 3α соответственно. По условию у получившегося вектора равны координаты по x и по y , так как это суммы одних и тех же трех чисел. Значит, этот вектор, если он не равен нулю, направлен вдоль прямой, образующей угол π/4 с осью Ox . Но направление суммы трех векторов совпадает с направлением вектора, образующего угол 2α , поскольку два других симметричны относительно него. Итак, 2α=+π k , откуда α=+ . Непосредственной проверкой убеждаемся, что все углы указанного вида подходят. Осталось рассмотреть случай, когда сумма трех единичных векторов равна нулю. Нетрудно видеть, что это возможно лишь если углы между ними равны , откуда α=+π k или α=+π k . Легко видеть, что тогда sin3α=0 , cosα0 , cos2α0 и cos3α0 . Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|