ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110204
Темы:    [ Биссекторная плоскость ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Симметрия относительно плоскости ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В тетраэдре ABCD из вершины A опустили перпендикуляры AB' , AC' , AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах CD , BD , BC пополам. Докажите, что плоскость (B'C'D') параллельна плоскости (BCD) .

Решение



Продолжим отрезок AB' до пересечения с плоскостью BCD в точке B'' . Так как плоскости (BCD) и (ACD) симетричны относительно биссекторной плоскости, то AB'=B'B'' . Аналогично по точкам C' и D' строим точки C'' и D'' . При гомотетии с центром A и коэффициентом плоскость (B''C''D'') переходит в плоскость (B'C'D') , поэтому (B'C'D')|| (B''C''D'')=(BCD) , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 06.4.11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .