ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111764
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M так, что точка пересечения медиан треугольника ABM лежит на описанной окружности треугольника ACM , а точка пересечения медиан треугольника ACM лежит на описанной окружности треугольника ABM . Докажите, что медианы треугольников ABM и ACM из вершины M равны.

Решение

Обозначим середины сторон AB и AC через C1 и B1 соответственно, а точки пересечения медиан треугольников ABM , ACM – через Gb , Gc соответственно (см. рис.) . Тогда AGcB1 = 180o- AGcM = ABM , так как AGcMB – вписанный четырехугольник; далее, ABM = AC1B1 , так как C1B1|| BC . Значит, AGcB1 = AC1B1 . Следовательно, четырехугольник AC1GcB1 вписан, то есть точка Gc лежит на описанной окружности Δ AB1C1 . Аналогично, Gb лежит на описанной окружности Δ AB1C1 .


Таким образом, точки A , C1 , Gb , Gc , B1 лежат на одной окружности. Далее, GcGb|| B1C1 , т.к. =2= . Получаем, что C1B1GcGb – вписанная трапеция, значит, GbC1B1= GcB1C1 , т.е. MB1=MC1 , что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 07.4.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .