ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111879
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Удвоение медианы ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.


Решение

  Пусть A'B'C' – треугольник, образованный проведёнными прямыми (см. рис.) и G – точка пересечения его медиан. Мы докажем, что M является серединой отрезкаGH.
  Достроим треугольник BMC до параллелограммаBMCA1. Отрезок MA1 делит сторону BC пополам, поэтому A1 лежит на прямой AM, причём
AM = A1M.  Кроме того,  BA1 || MCA'B'  и  CA1 || MBA'C',  поэтому BA1 и CA1 – высоты треугольника BA'C. Значит, A1 – ортоцентр этого треугольника и  A'A1BC.
  Стороны треугольника BA1M перпендикулярны сторонам треугольника A'B'C' соответственно, поэтому эти треугольники подобны, причём соответствующие прямые BC и AG, содержащие медианы этих треугольников, перпендикулярны. Значит, прямая A'G совпадает с прямой A'A1. Пусть G' – точка, симметричная точке H относительно M. Треугольники AHM и A1G'M симметричны относительно M, поэтому  A1G' || AHBC.  Отсюда следует, что G' лежит на прямой A'G. Аналогично G' лежит на прямой B'G, то есть G' совпадает с G.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 08.5.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .