Задача 115284

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Стороны  BC = a,  AC = b,  AB = c  треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причём  a < b < c.  Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B₁. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB₁ пополам.

Решение

  По условию   a + c = 2b.  Пусть p – полупериметр треугольника ABC, а P – точка касания вписанной окружности со стороной AB. Тогда
p = ½ (a + b + c) = ^3b/₂,  BP = p – AC = p – b = ^b/₂.
  Обозначим  ∠A = α,  ∠B = β.  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠AOB₁ = ∠BAO + ∠ABO = ∠OAC + ∠CBB₁ = ^α₂ + ^β/₂,  значит, треугольник OAB₁ – равнобедренный,  OB₁ = AB₁.  Опустим перпендикуляр B₁M на сторону AC. Тогда M – середина AC и  AM = ½ AC = ^b/₂ = BP,  поэтому прямоугольные треугольники BOP и AB₁M равны по катету и острому углу. Следовательно,  BO = AB₁ = OB₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2960