Задача 116932

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, касается его сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Пусть B₁H – высота треугольника A₁B₁C₁. Докажите, что точка H лежит на биссектрисе угла CAB.

Решение

  Из равнобедренных треугольников AB₁C₁ и BA₁C₁ имеем  ∠AC₁B₁ = 90° – ½ ∠BAC  и  ∠BC₁A₁ = 90° – ½ ∠ABC,  поэтому
∠A₁C₁B₁ = 180° – ∠AC₁B₁ – ∠BC₁A₁ = ½ (∠BAC + ∠ABC) = 45°.

  Итак, острый угол C₁ прямоугольного треугольника B₁HC₁ равен 45°, значит, этот треугольник равнобедренный. Поэтому точка H лежит на серединном перпендикуляре к отрезку B₁C₁. Но этим же серединным перпендикуляром является биссектриса равнобедренного треугольника AB₁C₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2012-2013
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	9
Задача
Номер	9.2