Задача 32074

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что произведение ста последовательных натуральных чисел не может быть сотой степенью натурального числа.

Решение

  Предположим, что для некоторых натуральных n и k  n(n + 1)(n + 2)...(n + 99) = k¹⁰⁰.
  Тогда  n¹⁰⁰ < k¹⁰⁰ < (n + 99)¹⁰⁰,  то есть  n < k < n + 99.  Поэтому число k входит множителем в левую часть исходного равенства. Число  k + 1,  также входящее множителем в левую часть этого равенства, взаимно просто с k. Поэтому k¹⁰⁰ не делится на  k + 1.  Противоречие

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	09
Дата	1986
задача
Номер	16