ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32883
Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Формула Герона ]
[ Неравенство Коши ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Доказать, что
  а) из всех треугольников с данной стороной и данным периметром наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник (у которого данная сторона является основанием);
  б) из всех треугольников с данной стороной и данной площадью наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник (у которого данная сторона является основанием).


Решение 1

  а) По формуле Герона  S2 = p(p – a)(p – b)(p – c).  Если p и a фиксированы, то, поскольку сумма  (p – b) + (p – c) = a  постоянна, то произведение
(p – b)(p – c)  максимально, когда  p – b = p – c,  то есть когда  b = c.

  б) Выводится из а) аналогично доказательству а) в решении 2.


Решение 2

  б) Так как сторона AB и площадь S треугольника ABC фиксированы, то фиксирована и длина высоты, опущенной на AB. Поэтому можно считать, что вершина C расположена на фиксированной прямой l, параллельной AB. Но тогда сумма  AC + CB  наименьшая, когда C – точка пересечения l и прямой AB′, где B′ – точка, симметричная B относительно l (см. решение задачи 55557 или 52489). Это и значит, что треугольник ABC – равнобедренный.

  а) Пусть S – площадь равнобедренного треугольника T с данными стороной а и периметром P, а S1 – площадь другого треугольника T1 с теми же данными. Согласно б) периметр P2 равнобедренного треугольника T2 cо стороной a и площадью S1 меньше P. Значит, и высота T2, опущенная на сторону a, меньше соответствующей высоты T, то есть  S1 < S.


© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .