ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34893
Темы:    [ Метод координат в пространстве (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров с радиусами 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса  .

Решение

Пусть цилиндры задаются неравенствами  (x – a)2 + (y – b)2 < 1,  (y – c)2 + (z – d)2 < 1,  (z – e)2 + (x – f)2 < 1.  Заметим, что
(x – a)2 + (x – f)2 = 2x2 – 2x(a + f)a2 + f2 > 2x2 – 2x(a + f) + (a + f)2/2 = 2(x – ½ (a + f))2.  Аналогично,
(y – b)2 + (y – c)2 > 2(y – ½ (b + c))2,  (z – d)2 + (z – e)2 > 2(z – ½ (d + e))2.  Сложив три неравенства, задающих цилиндры, и применив доказанные оценки, получим  (x – ½ (a + f))2 + (y – ½ (b + c))2 + (z – ½ (d + e))2 > 3/2.  Это означает, что точка, лежащая внутри каждого из трёх цилиндров, лежит внутри сферы с центром в точке  (½ (a + f), ½ (b + c), ½ (d + e))  и радиуса  

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .