ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34893
Темы:    [ Метод координат в пространстве (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что пересечение трёх прямых круговых цилиндров с радиусами 1, оси которых попарно взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), содержится в некотором шаре радиуса  


Решение

Пусть цилиндры задаются неравенствами  (x – a)² + (y – b)² < 1,  (y – c)² + (z – d)² < 1,  (z – e)² + (x – f)² < 1.  Заметим, что
(x – a)² + (x – f)² = 2x² – 2x(a + f)a² + f² > 2x² – 2x(a + f) + ½ (a + f)² = 2(x – ½ (a + f))².  Аналогично
(y – b)² + (y – c)² > 2(y – ½ (b + c))²,  (z – d)² + (z – e)² > 2(z – ½ (d + e))².  Сложив три неравенства, задающих цилиндры, и применив доказанные оценки, получим  (x – ½ (a + f))² + (y – ½ (b + c))² + (z – ½ (d + e))² > 3/2.  Это означает, что точка, лежащая внутри каждого из трёх цилиндров, лежит внутри сферы с центром в точке  (½ (a + f), ½ (b + c), ½ (d + e))  и радиуса  

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .