ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34997
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству  ab = cd.  Докажите, что число  a2000 + b2000 + c2000 + d2000  составное.


Подсказка

Если  ab = cd,  то можно подобрать такие натуральные числа u, v, w, t, что  a = uv,  b = wt,  c = uw,  d = vt.


Решение

Поскольку ab делится на c, число c можно представить в виде  c = uw,  где u – делитель a, a w – делитель b (в качестве u можно взять, например, НОД(a, с)).  Тогда  a = uv,  b = wt,  где v и t – натуральные числа, и поэтому  d = vt.  Отсюда
a2000 + b2000 + c2000 + d2000 = (uv)2000 + (wt)2000 + (uw)2000 + (vt)2000 = (u2000 + t2000)(v2000 + w2000).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .