ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35379
Темы:    [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все функции  f(x), определённые при всех действительных x и удовлетворяющие уравнению  2f(x) + f(1 – x) = x².


Подсказка

Подставьте  1 – x  вместо x.


Решение

В данное уравнение подставим  1 – x  вместо x. Получим систему
    2f(x) + f(1 – x) = x2,
    f(x) + 2f(1 – x) = (1 – x)²,
откуда находим  f(x) = 1/3 (2x² – (1 – x)²) = 1/3 (x² + 2x – 1).  Проверка показывает, что найденная функция удовлетворяет условию.


Ответ

f(x) = 1/3 (x² + 2x – 1).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .