ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35569
Темы:    [ Шестиугольники ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Стороны правильного шестиугольника раскрашены через одну в красный и синий цвета. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри шестиугольника, до прямых, содержащих красные стороны, равна сумме расстояний от этой точки до прямых, содержащих синие стороны.

Подсказка

Правильный шестиугольник - это пересечение двух правильных треугольников; используйте, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри правильного треугольника, до его сторон, постоянна.

Решение

Будем для краткости под сторонами шестиугольника подразумевать прямые, содержащие эти стороны. Пусть O - данная точка, а O' - ее образ при повортое на 60o относительно центра шестиугольника. Расстояния от O до синих сторон соответственно равны расстояниям от O' до красных сторон. Но красные стороны образуют правильный треугольник, поэтому теперь утверждение задачи следует из хорошо известного факта о том, что сумма расстояний от точки внутри правильного треугольника до его сторон не зависит от выбора точки.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .