ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52850
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ AC. Точки M и N – середины отрезков AK и CD соответственно.
Докажите, что угол BMN – прямой.


Подсказка

Точки M, B, C и N принадлежат одной окружности.


Решение

Поскольку  ∠BAK = ∠BDC,  то треугольники BAK и BDC подобны. BM и BN – медианы этих треугольников, проведённые из вершин соответствующих углов. Поэтому треугольники BMK и BNC подобны. Значит,  ∠BMC = ∠BNC.  Следовательно, точки M, B, C и N принадлежат одной окружности и BN – её диаметр. Поэтому  ∠BMN = 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 517

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .