Задача 52850

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольнике ABCD опущен перпендикуляр BK на диагональ AC. Точки M и N – середины отрезков AK и CD соответственно.
Докажите, что угол BMN – прямой.

Подсказка

Точки M, B, C и N принадлежат одной окружности.

Решение

Поскольку  ∠BAK = ∠BDC,  то треугольники BAK и BDC подобны. BM и BN – медианы этих треугольников, проведённые из вершин соответствующих углов. Поэтому треугольники BMK и BNC подобны. Значит,  ∠BMC = ∠BNC.  Следовательно, точки M, B, C и N принадлежат одной окружности и BN – её диаметр. Поэтому  ∠BMN = 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	517