Задача 53707

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Площадь трапеции ] [ Площадь четырехугольника ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Остроугольный равнобедренный треугольник и трапеция вписаны в окружность. Одно основание трапеции является диаметром окружности, а боковые стороны параллельны боковым сторонам треугольника. Найдите отношение площадей трапеции и треугольника.

Подсказка

Выразите площади трапеции и треугольника через радиус окружности и угол при основании равнобедренного треугольника.

Решение

  Пусть α – угол при основании BC равнобедренного треугольника ABC, R – радиус данной окружности, диаметр KL – большее основание равнобедренной трапеции KLMN, вписанной в окружность. Поскольку боковые стороны треугольника параллельны боковым сторонам трапеции, то углы при основании трапеции также равны α, то есть  ∠NKL = ∠MLK = ∠MLP = ∠C = α.

  Первый способ.  KM = NL = 2R sin α,  AB = AC = 2R sin α.
  Пусть диагонали KM и LN трапеции пересекаются в точке P. Тогда  ∠KPN = ∠PKL + ∠PLK = 2(90° – α) = 180° – 2α.  Значит,
S_KLMN = ½ KM·NL sin 2α = 2R² sin²α sin 2α = ½ AB·AC sin∠A = S_ABC.

  Второй способ. Проведём высоту AP треугольника и высоту MQ трапеции. Легко видеть, что  BP = MQ,  а средняя линия трапеции равна AP. Поэтому
S_KLMN = AP·MQ = AP·BP = S_ABC.

Ответ

1 : 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1441