Задача 54896

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Формулы для площади треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через центр I вписанной окружности ω треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC и пересекающая стороны AB и AC соответственно в точках M и N. Периметр треугольника AMN равен  3 ,  сторона BC равна  ,  а отрезок AI в 3 раза больше радиуса ω. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

  Пусть r – радиус ω, p – полупериметр треугольника ABC. Заметим, что треугольники BMI и CNI равнобедренные:  MB = MI,  NC = NI.  Поэтому

  Способ 1. Пусть P – точка касания ω со стороной AB. Тогда    По теореме Пифагора    значит,    Следовательно,  S_ABC = pr = 1.

  Способ 2. Треугольник ABC подобен треугольнику AMN с коэффициентом ¾ (это отношение их периметров). Значит, их высоты, опущенные из вершины A, относятся как  3 : 4,  то есть
AI + r  – длина высоты. Это значит, что треугольник ABC равнобедренный, а его стороны относятся как  3 : 3 : 2.  По формуле Герона  .

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2842