Задача 55398

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁; B₂ и C₂ – середины высот BB₁ и CC₁.
Докажите, что треугольник A₁B₂C₂ подобен треугольнику ABC.

Подсказка

Пусть M – середина BC, H – точка пересечения высот треугольника. Тогда точки A₁, M, H, B₂ и C₂ лежат на одной окружности.

Решение

  Докажем утверждение для остроугольного треугольника ABC. Пусть M – середина стороны BC, H – точка пересечения высот треугольника ABC.
  Поскольку MB₂ и MC₂ – средние линии прямоугольных треугольников BB₁C и CC₁B, то точки B₂ и C₂ лежат на окружности с диаметром MH. На этой же окружности лежит и точка A₁. Следовательно,  ∠A₁B₂C₂ = ∠A₁MC₂ = ∠B,  ∠A₁HB₂ = ∠C.
  Аналогично для тупоугольного треугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4717